PENGERTIAN SKALAR DAN VEKTOR BESERTA CONTOH SOALNYA

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar/nilai dan arah. Secara geometris, vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah, dengan panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor .

Sejarah Vektor

Vektor lahir dalam dua dasawarsa pada abad ke-19 dengan gambaran geometris dari bilangan kompleks. Caspar Wessel, Jean Robert Argand, Carl Friedrich Gauss, dan setidaknya satu atau dua orang lainnya menyatakan bahwa bilangan kompleks berfungsi sebagai titik dalam bidang dua dimensi yaitu sebagai vektor dua dimensi. Matematikawan dan ilmuwan bekerja sama lalu menerapkan bilangan-bilangan baru dalam berbagai cara.

Pada 1827, August Ferdinand Möbius menerbitkan sebuah buku pendek dengan judul “The Barycentric Calculus”, dimana ia memperkenalkan segmen garis yang diarahkan dan dilambangkan dengan huruf abjad. Fitur baru dalam hasil karya ini adalah pengenalan koordinat barycentric. Diberikan sembarang segitiga ABC maka jika garis berat a, b, dan c berturut-turut dilukis pada A, B, dan C maka dapat ditentukan sebuah titik P, yaitu titik berat segitiga. Möbius memperlihatkan bahwa setiap titik P pada bidang datar ditentukan oleh koordinat homogen [a, b, c]. Garis-garis berat yang diperlukan diletakkan pada A, B, dan C untuk menentukan titik berat P. Yang terpenting disini adalah pandangan Möbius tentang besaran berarah, sebuah pemunculan awal mengenai konsep vektor.

Pada tahun 1837, Möbius mempublikasikan buku tentang statika dimana ia secara gamblang menyatakan idenya tentang penyelesaian masalah besaran vektor bersama dengan dua sumbu koordinat. Diantara dua hasil karya Möbius ini, sebuah karya tentang geometri oleh Bellativis dipublikasikan tahun 1832 yang juga membahas besaran yang merupakan vektor. Objek dasarnya adalah segmen garis AB dan ia memandang AB dan BA sebagai dua objek yang berbeda. Ia mendefinisikan dua segmen garis sebagai 'equipollent' jika keduanya sama panjang dan paralel. Dalam notasi modern, dua segmen garis adalah equipollrnt jika keduanya mewakili dua vektor yang sama.

Jenis-jenis vektor

• Vektor Nol adalah vektor yang besarnya nol satuan dan arahnya tak tertentu.
• Vektor Posisi adalah posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi.
• Vektor Basis adalah vektor yang panjangnya satu satuan dan arahnya searah dengan sumbu koordinat.
• Vektor Satuan adalah suatu vektor yang panjangnya satu satuan.

Penulisan nama vektor

• Jika ada dua huruf harus menggunakan huruf kapital, sebagai contoh vektor AB
• Jika hanya satu huruf maka menggunakan huruf kecil, sebagai contoh vektor a
• Vektor yang panjangnya sama dengan panjang ruas garis garis AB dan arahnya dari A ke B

Secara aljabar, sebuah vektor dapat dinyatakan dengan salah satu cara, sebagai berikut

1. Vektor kolom (matriks kolom)
   
   
   
2. Vektor baris (matriks baris)
   
   
   
3. Vektor basis
   

Perkalian vektor dengan skalar

Secara aljabar, perkalian vektor dengan skalar hasilnya adalah semua unsur pada vektor dikalikan dengan skalarnya. Misalnya vektor a = (a1, a2) dan b = (b1, b2, b3) serta terdapat skalar k, maka ka = (ka1, ka2) dan kb = (kb1, kb2, kb3).

Secara geometri, skalar k yang merupakan anggota bilangan real dan terdapat vektor a. Hasil perkalian k dengan vektor a kita tulis ka yang artinya suatu vektor yang panjangnya k kali panjang vektor a dengan beberapa kemungkinan yaitu:

1. Jika k > 1, maka ka searah dengan a dan diperpanjang.
2. Jika k = 1, maka ka sama dengan a.
3. Jika 0 < k < 1, maka ka searah dengan a dan diperpendek.
4. Jika -1 < k < 0, maka ka berlawanan arah dengan a dan diperpendek.
5. Jika k = -1, maka ka berlawanan arah dengan a dan panjangnya sama.
6. Jika k < -1, maka ka berlawanan arah dengan a dan diperpanjang.

Sifat skalar dengan vektor

• Sifat komutatif, a + b = b + a
• Sifat asosiatif, a + (b + c) = (a + b) + c
• Sifat distributif, k (a + b) = ka + kb
• (kI) a = k (Ia)
• Invers, a + (-a) = 0
• I (a) = a
• Identitas, a + 0 = a

Penjumlahan dan Reduksi vektor

Penjumlahan dari dua vektor dapat dilakukan dengan menggunakan metode segitiga (aturan cosinus, metode garis horizontal, metode poligon, dan metode dekomposisi vektor).

Pengurangan vektor sama dengan jumlah vektor dengan satu vektor negatif dari vektor lagi

Notasi vektor

Vektor disini diekspresikan dalam huruf-huruf dengan arah garis di atasnya. Vektor dapat diekspresikan dalam dua dimensi, tiga dimensi, atau lebih. Jika dinyatakan dalam tiga dimensi maka vektor tersebut memiliki vektor satuan yang dinyatakan dalam i, j, dan k.
Vektor satuan adalah vektor berukuran satu satuan dan arahnya sesuai dengan sumbu utama yaitu:

• i adalah vektor satuan searah sumbu X (absis)
• j adalah vektor satuan dari satu sumbu Y (ordinat)
• k adalah vektor satuan dengan sumbu Z (aplikasi)

Dengan ax sebagai komponen arah sumbu x, dan ay komponen arah sumbu y, dan az sebagai komponen arah sumbu z.

Contoh soal

Daftar Pusaka:

• https://www.gurupendidikan.co.id/vektor-matematika/
• http://coretanmahasiswa19.blogspot.com/2014/04/sejarah-lahirnya-vektor_11.html#:~:text=Vektor%20lahir%20dalam%20dua%20dasawarsa,gambaran%20geometris%20dari%20bilangan%20kompleks.
• https://en.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_M%C3%B6bius
• https://blog.ruangguru.com/konsep-dasar-vektor